Temperatura e velocità microscopiche

Per arrivare ad una equazione di stato per il gas perfetto, è necessario trovare una relazione fra la temperatura (quantità macroscopica) e la velocità quadratica media (microscopica). Il teorema di equipartizione dell'energia, la cui dimostrazione esula dall'ambito di questi appunti, può in effetti essere ricavato a partire dalla dinamica microscopica. Esso prova, sotto ipotesi molto larghe sulle interazioni in gioco, che ogni grado di libertà microscopico contribuisce la stessa quantità di energia, precisamente $\frac{1}{2} \ensuremath{\ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace T}\xspace$ (dove è la costante di Boltzmann). Nel nostro caso le molecole sono trattate come sistemi privi di gradi di libertà interni, quindi abbiamo solo i tre gradi di libertà relativi alle translazioni:

$$\frac{1}{2}m\ensuremath{\left\langle v^2_{\scriptscriptstyl... ...remath{\ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace T}\xspace$$

Sostituendo dunque nell'espressione per l'energia otteniamo un legame fra sole quantità macroscopiche:

$$U = \frac{1}{2} m N \ensuremath{\left\langle v^2_{\scriptsc... ...remath{\ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace T}\xspace$$

L'energia cinetica associata al moto traslatorio dipende quindi unicamente dalla temperatura: essa è indipendente dalla pressione e dal volume. Questo risultato segue direttamente dall'aver trascurato ogni forma di energia potenziale fra le molecole. Quella che abbiamo scritto è in effetti l'equazione di stato del gas perfetto; essa viene normalmente scritta in termini di $P$, $V$ e $T$ e la possiamo ricavare esprimendo $U$ attraverso $P$ e $V$:

$$U = \frac{3}{2}PV \ensuremath{\quad\quad \Rightarrow \quad\... ...remath{\ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace T}\xspace$$

Esprimendo $N$ come prodotto del numero di Avogadro $N_a$ e della quantità di materia (il ``numero di moli'') $n$ abbiamo infine:

$$PV = n N_A \ensuremath{\ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace T}\xspace = n R T$$

dove $R=N_A \ensuremath{k_{\scriptscriptstyle B}}\xspace$ è la costante universale dei gas perfetti. Notiamo esplicitamente che per un gas perfetto l'energia interna dipende solo dalla temperatura e non dal volume occupato dal gas: eguali quantità di gas alla stessa temperatura hanno la stessa energia interna, anche se occupano volumi diversi: