Moto di una particella in un campo di forze centrali

Cominciamo a studiare il problema dal punto di vista più generale possibile, richiedendo solo che il campo di forza sia centrale. In questo caso esso ha simmetria sferica, per cui è più conveniente esprimere il moto in coordinate polari $\left( r,\vartheta, \varphi \right)$. La figura 1 introduce le convenzioni che useremo per le coordinate. Il nostro obiettivo è determinare le equazioni orarie, ovvero le funzioni del tempo $r(t)$, $\vartheta(t)$ e $\varphi(t)$, cosí come la traiettoria. Per far questo applicheremo i principi di conservazione dell'energia meccanica e del momento angolare. Un campo di forze centrali è conservativo, per cui l'energia meccanica $H$ della particella, data dalla somma dell'energia cinetica $T$ e dell'energia potenziale $U(r)$,

$$H = T + U(r),$$ (1)

rimane costante nel tempo. Il suo valore è determinato dalle condizioni iniziali su posizione e velocità, ovvero dai valori $\vec{r}_0=\vec{r}(t=0)$ e $\vec{v}_0=\vec{v}(t=0)$, e vale

$$H = \frac{1}{2} m v_0^2 + U(r_0) \quad\quad \textrm{(costante)}.$$

In un campo di forze centrali anche il momento angolare è conservato, quindi anche il suo valore dipende solo dalle condizioni iniziali. La sua definizione è

$$\vec{L} = \vec{r}_0\times m\vec{v}_0 = L\hat{u}_L \quad\quad \textrm{(costante)}.$$

Figura: Convenzioni per l'uso delle coordinate. Il centro della forza è situato nell'origine, sia in coordinate polari che cartesiane. L'asse $\hat{z}$ è diretto lungo il momento angolare relativo; siccome esso è costante nel tempo per un moto in un campo centrale, il riferimento che scegliamo è inerziale. In particolare il moto rimane sempre nel piano ($\vartheta =0$ e $z=0$ ad ogni istante nel tempo). Le trasformazioni fra coordinate polari e cartesiane saranno: $x=r\cos(\varphi)$, $y=r\sin(\varphi)$, $r=\sqrt {x^2+y^2}$ ed $\varphi=\arctan(y/x)$.

La conservazione di $\vec{L}$ implica che sono costanti nel tempo sia il suo modulo $L$ che la sua direzione $\hat{u}_L$, ovvero che il moto è piano. In termini delle coordinate polari ciò implica che

$$\varphi(t) = \varphi_0 \quad\quad \textrm{(costante)},$$

pertanto la traiettoria della particella giace sul piano normale alla direzione del momento angolare (vedere figura 1). Fissato $\varphi_0$, la traiettoria può essere espressa come una funzione della sola coordinata angolare $\vartheta$; nel seguito la indicheremo semplicemente come $r(\vartheta)$.

Cominciamo col determinare l'equazione oraria $r(t)$. Decomponiamo la velocità della particella in velocità radiale $\vec{v}_{r}$ e normale $\vec{v}_\vartheta$,

$$\vec{v} = \vec{v}_r + \vec{v}_\vartheta = \dot{r}\hat{u}_r + r\dot{\vartheta}\hat{u}_\vartheta,$$

dove $\hat{u}_r$ ed $\hat{u}_\vartheta$ rappresentano, rispettivamente, il versore radiale e quello normale, ed $\dot{r}$ e $\dot{\vartheta}$ sono le derivate rispetto al tempo delle funzioni $r(t)$ e $\vartheta(t)$. L'energia cinetica $T$ della particella può allora essere riscritta come la somma di due termini: quello radiale $T_r$, e quello normale $T_\vartheta$ (ciò non significa ovviamente che l'energia sia un vettore!). L'espressione di $T$ diventa

$$T = \frac{1}{2} m v^2 = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{1}{2} m r^2 \dot{\vartheta}^2 = T_r + T_\vartheta,$$

con $T_r = \frac{1}{2} m \dot{r}^2$ e $T_\vartheta = \frac{1}{2} m r^2 \dot{\vartheta}^2$. L'ultimo termine può essere espresso in funzione del modulo del momento angolare $L$. Infatti

$$\vec{L} = \vec{r} \times m\vec{v} = \vec{r}\times m \left(... ...artheta = \vec{r}\times mr \dot{\vartheta} \hat{u}_\vartheta.$$

Il termine contenente $\vec{r} \times \vec{v}_r$ è stato eliminato siccome $\vec{r} \parallel \vec{v}_r$; inoltre essendo $\vec{r} \perp \hat{u}_\vartheta$, si ha che

$$L = mr^2 \dot{\vartheta}.$$ (2)

Sostituendo ora $r^2 \dot{\vartheta}$ in $T_\vartheta$ si ricava

$$T_\vartheta = \frac{L^2}{2mr^2}.$$

È importante osservare che $T_\vartheta$ dipende esclusivamente da $r$ e, come tale, rappresenta un'energia di posizione; a causa di ciò viene denominato anche potenziale centrifugo. In definitiva l'energia cinetica totale è

$$T = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \frac{L^2}{2mr^2}.$$ (3)

È interessante, a questo punto, chiedersi come mai compaia l'aggettivo centrifugo, tipico di un sistema di riferimento non inerziale, quando, invece, abbiamo cominciato i nostri calcoli da osservatori inerziali. Di fatto, nel determinare $T_\vartheta$ attraverso la costante del moto $L$ ci siamo sbarazzati della variabile di posizione $\vartheta$, fino ad esprimere l'energia cinetica totale $T$ in funzione della sola variabile di posizione $r$. Ci siamo cosí ritrovati come osservatori non inerziali in un sistema di riferimento solidale al raggio vettore $\hat{u}_r$. Derivando $T_\vartheta$ rispetto ad $r$ e cambiando di segno si ottiene infatti il valore della forza centrifuga. Ritorniamo al calcolo dell'equazione oraria $r(t)$. Sostituendo l'equazione 3 nella 1 si ha

$$H = \frac{1}{2} m \dot{r}^2 + \left[ \frac{L^2}{2mr^2} + U(r) \right].$$ (4)

Il termine tra parentesi quadre, che giocherà un ruolo importante nella descrizione del moto, è un'energia di posizione che prende il nome di energia potenziale efficace $U_\mathit{eff}$:

$$U_\mathit{eff}= \frac{L^2}{2mr^2} + U(r).$$ (5)