Moto in un potenziale coulombiano

Esplicitiamo ora $U(r)$ nella forma dell'energia potenziale gravitazionale

$$U(r) = - \gamma \frac{mM}{r} = - \frac{k}{r},$$ (6)

dove $M$ è la massa del centro di forza situato nell'origine $O$ (vedere figura 1). Per brevità è stato posto $k=\gamma mM$ con $\gamma \simeq 6.67\cdot 10^{-11}$Nm$^2$/kg$^2$. In figura 2 è riportato il grafico dell'energia potenziale efficace $U_\mathit{eff}$ (equazione 5) per il potenziale gravitazionale $U(r)$ (equazione 6).

I risultati che troveremo per il potenziale gravitazionale potranno essere estesi all'interazione coulombiana tra una carica $+Q$, centro di forza, situata in $O$ ed una carica di segno opposto $-q$ in moto relativo. Anche in questo caso il potenziale è del tipo $U(r) = -k/r$, dove però $k=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}Qq$ con $\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \simeq 9 \cdot 10^{9}$Nm$^2$. Dall'equazione 4 possiamo ricavare

$$\dot{r} = \pm \sqrt{ \frac{2}{m} \left( H -\frac{L^2}{2mr^2}-U(r) \right) }.$$ (7)

Dei due segni prenderemo quello positivo; questa scelta corrisponde ad imporre una condizione iniziale: il verso di rotazione della massa $m$.

Figura 2: Grafico qualitativo del potenziale efficace nel caso coulombiano attrattivo. Il potenziale centrifugo è positivo e cresce come $r^{-2}$, mentre il potenziale coulombiano solo come $r^{-1}$. Quindi per piccole distanze prevale l'effetto centrifugo, per grandi quello coulombiano; a distanza intermedie si forma allora una ``buca di potenziale''.

Poichè $\dot{r}$ risulta solo funzione della variabile $r$, al fine di ricavare $r(\vartheta)$ è sufficiente osservare che

$$\frac{dr}{d\vartheta} = \frac{dr/dt}{d\vartheta/dt} = \frac{\dot{r}}{\dot{\vartheta}}.$$ (8)

Infatti, sostituendo le equazioni 2 e 7, nonchè la legge dinamica 6, nella 8 si trova

$$\frac{dr}{d\vartheta } = \frac{\dot{r}}{\dot{\vartheta}} =... ...qrt{ \frac{2}{m} \left( H - L^2/2mr^2 +k/r \right) }}{L/mr^2}.$$

Risolvendo rispetto a $d\vartheta$, dopo qualche semplice passaggio algebrico si ottiene

$$d\vartheta = \frac{Ldr}{mr^2 \sqrt{ \frac{2}{m} \left( H-L... ... \frac{dr}{r \sqrt{ \frac{2mH}{L^2}r^2+\frac{2km}{L^2}r-1 } }.$$

La formula precedente si semplifica notevolmente se raggruppiamo le costanti del moto ponendo $a=2mH/L^2$, $b=2mk/L^2$ e $c=-1$:

$$d\vartheta = \frac{dr}{r\sqrt{ar^2+br+c}}.$$ (9)

Osserviamo che, poichè $L$ ed $H$ sono costanti, $a$ e $b$ non dipendono da $r$. Integrando entrambi i membri dell'equazione 9 (l'integrale del secondo membro si può trovare tabulato sulla maggior parte delle tavole di integrali) si ottiene

$$\arcsin \left( \frac{br/2 + c}{r\sqrt{b^2/4 - ac}} \right) = \vartheta - \vartheta_0.$$ (10)

La costante di integrazione $\vartheta_0$ è determinata dalla posizione angolare iniziale. Sostituendo nella soluzione 10 i valori di $a$, $b$ e $c$, dopo una semplice manipolazione algebrica e l'inversione della funzione arcoseno, abbiamo

$$\sin(\vartheta - \vartheta_0) = \frac{mkr-L^2}{r\sqrt{m^2k^2+2mHL^2}}.$$

Risolvendo rispetto ad $r$ si ottiene la dipendenza di $r$ da $\vartheta$:

$$r(\vartheta) = \frac{L^2/mk}{1-\sqrt{1+\frac{2HL^2}{mk^2}}\sin(\vartheta - \vartheta_0)}.$$ (11)

Vogliamo ora riscrivere questa uguaglianza in una forma più semplice. Calcoliamo il valore di $r(\vartheta)$ per $\vartheta =\vartheta_0$ e chiamiamolo $\rho$. Il seno si annulla ed otteniamo

$$r(\vartheta_0) = \frac{L^2}{mk} = \rho.$$ (12)

Abbiamo visto che la conoscenza delle condizioni iniziali implica la conoscenza di $L$ e quindi di $\rho$. Siamo liberi di assumere il valore iniziale $\vartheta_0 = -\pi/2$; questo implica che $\sin(\vartheta - \vartheta_0) = \sin(\vartheta + \pi/2) = -\cos\vartheta$. Poniamo ancora

$$\varepsilon =\sqrt{1+\frac{2HL^2}{mk^2}}.$$ (13)

In questo modo l'equazione 11 si riscrive come

$$r(\vartheta ) = \frac{\rho }{1+\varepsilon \cos \vartheta}.$$ (14)

Questa è l'equazione di una conica in coordinate polari. $\varepsilon$ è detta eccentricità della conica. A decidere di che tipo di conica si tratta è il valore di $\varepsilon$ che, a sua volta, è determinato da $H$ ed $L$ (equazione 13) e quindi dalle condizioni iniziali. A questo punto può essere comodo passare alle coordinate cartesiane; dalla figura 1 si deduce che

$$x = r\cos\vartheta \quad\quad\quad y = r\sin\vartheta.$$

Sostituendo $x$ ed $y$ nell'equazione 14, considerando che $r=\sqrt {x^2+y^2}$, dopo elementari manipolazioni, si trova

$$x^2 \left( 1-\varepsilon ^2\right) +2\varepsilon \rho x+y^2=\rho ^2,$$ (15)

che è l'equazione di una conica in coordinate cartesiane. Esistono tre possibilità:

$\varepsilon > 1$	per le orbite iperboliche;
$\varepsilon =1$	per le orbite paraboliche;
$0 \leq \varepsilon < 1$	per le orbite ellittiche.

Il caso $L=0$ (cioè $\rho = 0$ ed $\varepsilon =1$) corrisponde ad un'orbita rettilinea nella direzione del centro di forza: la particella cade verso il centro di forza secondo una linea retta avente la stessa direzione di $\vec{r}_0$ e $\vec{v}_0$. Nel seguito escluderemo questa possibilità.

Orbite iperboliche: nel caso che l'energia sia positiva ed il momento angolare non sia nullo (cioè $H>0$ ed $L\neq 0$) si ha $\varepsilon > 1$, ovvero $1 - \varepsilon^2<0$. Poniamo allora $1-\varepsilon^2 = -A$, con $A$ positivo; l'equazione 15 diventa

$$- Ax^2 + 2\varepsilon\rho x + y^2 = \rho^2.$$

In questa equazione i coefficienti dei termini quadratici $x^2$ e $y^2$ sono diversi e di segno opposto: si tratta dell'equazione di un'iperbole. In figura 3-a) (tratto continuo) è riportato il grafico di un'iperbole avente $\varepsilon = 1.2$ e $\rho =1$. Il centro di forza è posto nell'origine.

Orbite paraboliche: nel caso che l'energia sia nulla ed il momento angolare non sia nullo (cioè $H=0$ ed $L\neq 0$) si ha $\varepsilon =1$. In questo caso l'equazione 15 diventa semplicemente

$$x = \frac{1}{2\rho}(\rho^2 - y^2),$$

che è l'equazione di una parabola. In figura 3-a) (tratteggio) è riportato il grafico di una parabola con $\varepsilon =1$ e $\rho =1$.

Orbite ellittiche e circolari: nel caso che l'energia sia negativa ed il momento angolare non sia nullo (cioè $H<0$ ed $L\neq 0$) si ha $0 \leq \varepsilon < 1$. In questo caso l'equazione 15 assume la forma

$$+Bx^2 + Cx + y^2 = \rho^2,$$

con $B = 1-\varepsilon^2 > 0$ e $C = 2\varepsilon\rho$. In questa equazione i coefficienti dei termini quadratici $x^2$ e $y^2$ sono di ugual segno: si tratta dell'equazione di un'ellisse. Nel caso in cui

$$H = -\frac{mk^2}{2L^2}$$

si ha esattamente $\varepsilon =0$, e l'equazione 15 si riduce a quella di una circonferenza:

$$y^2 + x^2 = \rho^2.$$

In figura 3-b) sono riportati i grafici di ellissi aventi $\rho =1$ e differenti valori di $\varepsilon$; uno dei due fuochi è nell'origine degli assi. Ad $\varepsilon =0$ corrisponde l'orbita circolare (curva tratteggiata a piccoli tratti), ad $\varepsilon =0.017$ un'orbita con la stessa eccentricità di quella terrestre (curva continua). Si osservi come sia difficile distinguere l'orbita della terra dall'orbita circolare! Ad $\varepsilon =0.25$ corrisponde un'orbita con la stessa eccentricità di quella del pianeta Plutone (curva tratteggiata a tratti lunghi). Nel sistema solare il pianeta con la più piccola eccentricità è Nettuno ( $\varepsilon =0.004$) e quello con la più grande è Plutone.

Figura: Parte a) sono rappresentate un iperbole (tratto continuo, $\varepsilon =1.1$) ed una parabola (tratteggiata, $\varepsilon =1$). Parte b) sono rappresentate una circonferenza (tratteggio fine, $\varepsilon =0$), e due ellissi con eccentricità diversa (tratto continuo, $\varepsilon =0.017$ e tratteggio largo, $\varepsilon =0.25$). Tutte queste coniche corrispondono all'equazione $x^2(1-\varepsilon ^2)+2\varepsilon \rho x +y^2=\rho ^2$ con $\rho =1$, quindi passano tutte per i punti $(0,1)$ e $(0,-1)$.

In figura 4-b sono riportate le orbite dei pianeti esterni alla terra nel sistema solare e l'orbita della cometa Halley; questa presenta un'eccentricità molto più alta di tutti i pianeti del sistema solare ( $\varepsilon \simeq 0.9$).

I casi relativi alle possibili orbite del moto in un campo gravitazionale, aventi stesso momento angolare $L$ (quindi stesso valore per la $\rho$, vedere equazione 12) e diversa energia totale $H$, sono riassunti in figura 5 attraverso il diagramma dell'energia potenziale efficace $U_\mathit{eff}(r)$.