Moto dei satelliti

Figura: Parte a Sono mostrate le diverse orbite per satelliti terrestri corrispondenti ai casi 1, 2 e 3 di figura 5. La curva 1 corrisponde al caso $v_0 < v_C$, in cui la posizione iniziale $\rho$ (equazione 12) coincide con l'afelio. La curva 2 corrisponde al moto circolare. La curva 3 corrisponde al caso $v_C < v_0 < v_P$, in cui la posizione iniziale $\rho$ (equazione 12) coincide con il perielio. In tutti e tre i casi il valore di $\rho$ e quindi del momento angolare è fissato. Parte b Sono rappresentate le orbite dei pianeti del sistema solare esterni alla Terra, assieme alla cometa Halley, che presenta una eccentricità molto maggiore.

 

Le conclusioni precedenti possono essere applicate anche ai satelliti di un pianeta; in questo caso il pianeta gioca il ruolo di centro della forza. Supponiamo di voler lanciare in orbita attorno alla Terra un satellite, ad una distanza $r_0$ dal centro della Terra. La velocità iniziale del satellite $\vec{v}_0$ sia diretta ortogonalmente al raggio vettore $\vec{r}_0$ che ne individua la posizione iniziale. Ci chiediamo quale deve essere il valore di $v_0$ affinché il satellite percorra un'orbita circolare e quale il valor minimo di $v_0$ affinché esso abbandoni per sempre la Terra.

Orbita circolare: la condizione per l'orbita circolare si ricava dalla seconda legge di Newton, imponendo che l'accelerazione gravitazionale eguagli quella centrifuga. Indicando con $m$ la massa del satellite, con $M$ quella della Terra e con $v_C$ il valore di $v_0$ determinato da questa uguaglianza, si ha

$$m \frac{v_C^{\;2}}{r_0} = \gamma \frac{mM}{r_0^{\;2}}, \qu... ...uad \Rightarrow \quad\quad v_C = \sqrt{\gamma \frac{M}{r_0}}.$$

Orbita parabolica: la minima velocità iniziale $v_P$ che vedrebbe la massa $m$ allontanarsi per sempre dalla Terra è quella che dà luogo ad un'orbita parabolica. Essa si ottiene imponendo che l'energia meccanica $H$ sia nulla:

$$H = \frac{1}{2} m v_P^{\;2} - \gamma\frac{mM}{r_0} = 0 \qu... ... \quad\quad v_P = \sqrt{ 2\gamma\frac{M}{r_0}} = \sqrt{2}v_C.$$

Il valore $v_P$ corrisponde alla velocità di fuga a partire dalla quota $r_0$. Se $r_0$ coincidesse con il raggio della Terra $R$, si avrebbe $v_P = \sqrt{2\gamma \frac{M}{R}} =\sqrt{2gR} \simeq 11.3$Km/s. È interessante domandarsi ora quale sia il tipo di orbita per velocità $v_0 > v_P$ e per $v_0 < v_P$.

Orbite iperboliche ed ellittiche: per $v_0 > v_P$ si ha che l'energia è positiva e quindi che le orbite sono di tipo iperbolico (figura 5). Abbiamo trovato che l'energia meccanica è nulla per $v_0 = v_P$ (orbita parabolica) mentre per $v_0 = v_C < v_P$ (orbita circolare) si ha che

$$H = \frac{1}{2} m v_C^{\;2} - \gamma \frac{mM}{r_0} = -\frac{1}{2}\gamma \frac{mM}{r_0} < 0.$$

In generale per $v_0 < v_P$ si ha $H<0$; ad energie meccaniche negative corrispondono sempre orbite chiuse (figura 5), quindi per

$$v_0 < v_C \quad\quad \textrm{e} \quad\quad v_C < v_0 < v_P$$

il satellite percorre orbite ellittiche. In particolare, per $v_0 < v_C$, il satellite si muove su orbite aventi l'afelio coincidente con la posizione iniziale $r_0$ (vedi figura 5 curva 1, parte spessa) mentre e per $v_C < v_0 < v_P$ il satellite percorre orbite ellittiche con la posizione iniziale coincidente con il perielio (vedi figura 5 curva 3, parte spessa). In figura 5 sono mostrate le curve di energia potenziale efficace $U_\mathit{eff}(r)$ (vedere anche la figura 2) ottenute per i differenti valori di $v_0$. Al crescere di $v_0$ e quindi di $L = m r_0 v_0$, l'energia centrifuga $L^2/2m r_0^{\;2}$ aumenta mentre $U(r)$ resta invariata; ne consegue che le curve del potenziale efficace $U_\mathit{eff}(r)$ si spostano verso l'alto. Ad ogni curva corrisponde una diversa traiettoria: alla curva $2$, corrisponde la traiettoria circolare, alla curva $4$ quella parabolica, alle curve $1$ e $3$ traiettorie ellittiche e alla curva $5$ quella iperbolica. Le diverse orbite sono riportate in figura 4-a.

Figura: Moto dei satelliti: Curva 1 $v_0 < v_C$, moto ellittico, la posizione iniziale $\rho$ (equazione 12) coincide con l'afelio (linea magenta in grassetto), ellisse a nella figura 4-a. Curva 2 $v_0 = v_C$, moto circolare. Curva 3 $v_C < v_0 < v_P$, moto ellittico, la posizione iniziale $\rho$ (equazione 12) coincide con il perielio (linea magenta in grassetto), ellisse b nella figura 4-a. Curva 4 $v_0 = v_P$, moto parabolico. Curva 5 $v_0 > v_P$, moto iperbolico.
I segmenti orizzontali tratteggiati rappresentano l'energia totale $H$, essi sono numerati da $1$ a $5$ come le corrispondenti curve di energia potenziale efficace; il segmento numero $4$ (moto parabolico) coincide con l'asse delle ascisse, $H=0$. In tutti i casi il valore di $\rho$ e quindi del momento angolare è fissato.