Urti elastici in due dimensioni

Se l'urto è elastico ma non unidimensionale, le leggi di conservazione non bastano a determinare il moto dei corpi dopo di esso basandosi solo sulla conoscenza del moto prima dell'urto. Infatti le uniche equazioni che possiamo scrivere sono:

$$\left\{ \begin{array}{l} m_1\vec{v}_1 + m_2\vec{v}_2 = m_1... ...} m_1 {v'}_1^2 + \frac{1}{2} m_2 {v'}_2^2 \end{array} \right.$$

La prima equazione è vettoriale, quindi conta come tante equazioni scalari quante sono le dimensioni del sistema. Nel caso di urto bidimensionale, note le quantità iniziali $\vec{v}_1 = (v_{1x}, v_{1y})$ e $\vec{v}_2 = (v_{2x}, v_{2y})$ rimangono le quattro incognite $\vec{v'}_1 = ({v'}_{1x}, {v'}_{1y})$ e $\vec{v'}_2 = ({v'}_{2x}, {v'}_{2y})$. Si hanno così quattro incognite per tre equazioni scalari. Se non si conosce il tipo di iterazione la quarta informazione necessaria per risolvere il problema la si deve dedurre dall'esperimento. Tipicamente si misura l'angolo di deviazione delle due particelle. Ovviamente, al crescere del numero delle dimensioni servono sempre più quantità misurate.

Consideriamo ora il caso di un urto bidimensionale fra due particelle di cui una è inizialmente ferma. Questo non è affatto un caso restrittivo in quanto si può sempre scegliere un sistema di riferimento rispetto al quale una delle due particelle risulti ferma prima dell'urto.

La distanza $b$ fra la direzione del corpo incidente ed una retta ad essa parallela passante per il corpo fermo viene detta parametro d'urto. È una misura di quanto direttamente il proiettile incida sul bersaglio. Per $b = 0$ si ha un urto frontale. Scriviamo per esteso le leggi di conservazione, utilizzando gli angoli $\theta_1$ e $\theta_2$ per determinare le componenti di $\vec{v'}_1$ e $\vec{v'}_2$:

$$\frac{1}{2}m_1v_1^2 = \frac{1}{2}m_1{v'}_1^2 + \frac{1}{2}m_2{v'}_2^2$$ (3)

$$m_1v_1 = m_1{v'}_1 \cos\theta_1 + m_2{v'}_2 \cos\theta_2 \quad \quad \textrm{componente~}x$$ (4)

$$0 = m_1{v'}_1 \sin\theta_1 - m_2{v'}_2 \sin\theta_2 \quad \quad ~ \textrm{componente~}y$$ (5)

Quindi abbiamo quattro quantità incognite (${v'}_1$, ${v'}_2$, $\theta_1$ e $\theta_2$) e tre quantità note ($m_1$, $m_2$ e $v_1$). Come già detto le equazioni indipendenti a disposizione sono solamente tre e serve una ulteriore informazione. Cominciamo con il calcolare l'energia trasferita al secondo corpo; siccome questo era precedentemente fermo essa coincide con ${E'}_2$. Come primo passaggio isoliamo $\cos\theta_1$ nell'equazione 4 e quadriamolo:

$$\cos^2 \theta_1 = \left( \frac{m_1v_1 - m_2{v'}_2 \cos\theta_2}{m_1{v'}_1} \right)^2$$ (6)

Dall'equazione 5 possiamo invece ricavare $\sin\theta_1$. Estraiamolo e quadriamolo come prima:

$$\sin^2 \theta_1 = \left( \frac{m_2{v'}_2 \sin\theta_2}{m_1{v'}_1} \right)^2$$

Ora possiamo sostituire $1 - \sin^2\theta_1$ al posto di $\cos^2\theta_1$ nella equazione 6 (dove sviluppiamo il secondo membro), e moltiplicare per $m^2_1{v'}^2_1$ ambo i membri in modo da non avere più frazioni:

$$m^2_1{v'}^2_1 - m^2_2{v'}^2_2\sin^2\theta_2 = m^2_1v^2_1 + m^2_2{v'}^2_2\cos^2\theta_2 - 2m_1m_2v_1{v'}_2\cos\theta_2$$

raccogliamo ora i termini con seni e coseni quadri in $\theta_2$ (questi sommeranno ad uno):

$$m^2_1{v'}^2_1 - m^2_2{v'}^2_2 ( \sin^2\theta_2 + \cos^2\theta_2 ) = m^2_1v^2_1 - 2m_1m_2v_1{v'}_2 \cos\theta_2$$

moltiplicando per $\frac{1}{2}$ e dividendo per $m_1$ si ha:

$$\frac{1}{2}m_1{v'}^2_1 - \frac{m_2}{m_1}\frac{1}{2}m_2{v'}^2_2 = \frac{1}{2}m_1v^2_1 - m_2v_1{v'}_2 \cos\theta_2$$

nella precedente equazione si possono riconoscere le espressioni per $E_1 = \frac{1}{2} m_1v^2_1$, ${E'}_1 = \frac{1}{2}m_1{v'}^2_1$ ed ${E'}_2 = \frac{1}{2}m_2{v'}^2_2$. Otteniamo quindi:

$${E'}_1 - \frac{m_2}{m_1}{E'}_2 = E_1 - m_2v_1{v'}_2\cos\theta_2$$

Sostituendo l'equazione di conservazione dell'energia 3, ovvero ponendo $E_1 = {E'}_1 + {E'}_2$, si ottiene:

$${E'}_1 - \frac{m_2}{m_1}{E'}_2 = {E'}_1 + {E'}_2 - m_2v_1{... ... - \frac{m_2}{m_1}{E'}_2 = {E'}_2 - m_2v_1{v'}_2 \cos\theta_2$$

$$\Rightarrow \quad {E'}_2 \frac{M}{m_1} = \frac{1}{2}m_2{v'}^2_2 \frac{M}{m_1} = m_2v_1{v'}_2 \cos\theta_2$$

da cui:

$${v'}_2 = \frac{2m_1}{M} v_1\cos\theta_2$$

Questo ci permette di ottenere finalmente un'espressione per l'energia ${E'}_2$ ceduta al secondo corpo durante l'urto, come funzione dell'angolo di deviazione del corpo inizialmente fermo rispetto all'asse del ``proiettile'':

$${E'}_2 = \frac{1}{2}m_2{v'}^2_2 = \frac{1}{2}m_2\frac{4m^2... ...{M^2} \cos^2\theta_2 = E_1 \frac{4m_1m_2}{M^2} \cos^2\theta_2$$ (7)